自考10021机电一体化工程（专科）综合作业考试大纲（2001年版）

［10021］ 初等数论自学考试大纲浙江省高等教育自学考试办公室二○○一年十一月指定教材：《数论简明教程》，叶景梅等著，宁夏人民出版社，。1998 年 8 月第 1 版课程内容及考核要求

第一章 整数的整除性理论带余除法定理

(§1 定理 1)；余数、整除的概念；整除性判断方法； 最大公因数、最小公倍数的概念；互素的概念；辗转相除法；与因数、倍数有关的定理；

素数与合数的概念；〖WT4”BX〗素数 P 与一整数 a〖WT4”BZ〗只有两种关系（§5 定理 1)；

素因数的存在性（§5 定理 2)；素数集的无限性：Eratosthenes 筛法；算术基本定理和标准分解式；费尔马数与梅森数〖WT4”BX〗F n  ，M n  。〖WT4”BZ〗

1.掌握带余除法定理，掌握余数的概念；

2.熟悉整除概念，能解决简单的整除性判定问题；

3.掌握公因数、最大公因数的概念及相关的性质（§3 定理 1-7)，并特别注意定理 3 的运用；掌握互素及两两互素的概念及相关的性质 (§3 定理 8-13)，特别注意利用定理 8，10，11，12。例如，对于任意〖 WT4”BX〗a，b∈Z，可设（a，b)=d，再令 a=a 1d ，b=b 1d ，则（a 1  ，b 1)=1，于是可对 a 1  ，b 1 使用定理 10-12；掌握倍数、 最小公倍数的概念；两数最小公倍数与最大公因数之间的关系（§4 定理 1)。

4.掌握素数与合数的概念；除了 2，3 外，素数只能是 4m±1，6m±1 的形状的数；

掌握§5 定理 1，定理 2；根据〖WT4”BZ〗Eratosthenes〖WT4”BX〗筛法造简单的素数表；

素数集无限性的证明，参考其方法证明形如 4m-1 的素数集的无限性；

5.掌握算术基本定理，熟悉一整数（＞1）的标准分解式，能运用它们解决一些具体命题；

6.对 F n=2

2 n +1    及 M n=2 n-1 有常识性的了解；

7.能解决一些简单的整数、素数、合数的判定命题；对于任意 n，构造 n 个相继自然数全是合数的方法。 习题一第 2-7 题 习题二第 1，3-10 题 习题三第 1，9，10，14 题 习题五第 1-6，9，10，16 题 习题六第 1，3，4，5 题 例题：§1 例 1-4，§2 例 1，3-8，§3 例 1，4-7，§5 例 1，2，§6 例 1

第二章 数论函数

函数［x］与｛x｝及其基本性质；可乘函数的定义；函数 d(n)，σ(n)，φ(n）的定义及计算公式；函数 μ(n)，π(x）的定义；切比雪夫（чe бЫше B）及素数定理的结论。

1.熟悉［x］与｛x｝及其基本性质，并解决有关的命题；能求 n!中素因数ｐ的指数（§1定理 1)；

2.熟悉 d(n)，σ(n)，φ(n）的定义，了解它们是可乘函数，熟悉其计算公式；

3.熟悉 μ(n)，π(x）的定义，能对具体的 n 或 x，确定 μ(n）或 π(x）的值；

4.能写出切比雪夫不等式和素数定理。

三、习题

习题七第 1，2，4，6，7，8 题 习题八第 1，3 题 习题十第 1，2，6-11 题 例题：§1 例 1，2，3；§2 例 1；§4 例 1，2.

第三章 同 余

同余的概念与基本性质；完全剩余系与简化乘余系的概念与性质；

欧拉（Euler）定理及其证明；费尔马（Fermat）定理；两个定理的应用；利用同余关系计算大数的余数。

1.掌握同余关系的概念及等价的另外两定义（§1 定理 1)；熟练掌握同余关系的基本性质(§1 定理 2-8)；熟练地进行同余计算；

2.掌握完全剩余系、简化剩余系的概念；§2 定理 1、定理 2 及其证明；

3.掌握欧拉定理及其证明；掌握费尔马定理；利用它们解决求余数、判断整除性等问题；

4.求一大数被某数除所得的余数。习题十一第 2-4，6，7，9 题 习题十二第 1，2 题 习题十三第 1-8 题 例数：§1 例 1，2；§2 例 1，2；§3 例 1，2，4，5；§4 例 1，2.

第四章 一元同余方程

同余方程、同余方程组及其解的概念；一元一次同余方程有解的条件；一次同余方程组有解的条件；中国剩余定理；解一次同余方程、方程组；高次同余方程的解的个数、解法；

威尔逊（Wilson）定理及其证明。

1.判断方程

ax+b≡0(mod m）是否有解，在有解时求出其解；

2. 能把 有解 的一 般一 次同 余方 程组 化为 等价 的同 余方 程组 x≡c 1 (mod m1)x≡c 2(mod m 2)(1)…… ……x≡c k (mod m k)  这里 m 1  ，m 2  ，…，m k 两两互素（联系§3 定理 3).并利用中国剩余定理列表求解；

3.较简单的高次同余方程 f(x)≡0 (mod P a)的解法（§5 定理 2 之证明过程)；

4.威尔逊（Wilson）定理及其证明。习题十五第 2，4 题 习题十六第 1，3 题 习题十七第 1-7 题 习题十八第 2，3，5 题 习题十九第 3，5 题 例题：§1 例 1；§2 例 1，2，3；§3 例 1，2，3；§4 例 2.

第五章 不定方程

一次不定方程有整数解的条件及解法；方程 ax+by=c 的弗罗贝纽斯（Frobenius）问题的结论；解不定方程的一些初等方法；不定方程 x 2+y 2=z 2 与 x 4+y 4=z 2  ；费尔马无穷递降法。

1. 熟悉 一次 不定 方程 有整 数解 的条 件 。 在有 解的 情况 下 ， 求ax+by=c ax+by+cz=m 的解（整数解，正整数解等)；

2.熟悉§2 所列各种初等方法（第 7 段方法不要求)；

3.熟悉不定方程x 2+y 2=z 2 ，(x，y)=1，x，y，z＞0，2｜x的解；

4.不定方程x 4+y 4=z 2 ，x，y＞0无整数解的证明；

5.能用无穷递减法解决一些简单的命题；

6.对 Frobenius 问题、Fermat 猜想有常识性的了解。习题二十第 1-3，6，8 题 习题二十一第 1-16 题 习题二十二第 1，2 题 习题二十三第 7，8(1）题 例题：§1 例 1，2，3，§2 例 1-7，§3 例 1，§4 例 1.

第六章 二次同余方程与平方剩余

平方剩余与平方非剩余的概念；欧拉判别条件；勒让德（Legendre)、雅可比（Jacobi）符号 的定 义与 性质 及计 算 ， 反转 定律 ； 用高 斯逐 步淘 汰法 解同 余方 程 〖WT4”BX〗x 2=a(mod p) ，(a，p)=1，p＞2。

1.掌握平方剩余、平方非剩余的概念，了解欧拉判别条件；

2.熟悉勒让德符号、雅可比符号的定义、意义、基本性质及反转定律，并计算其值；

3.证明形如 4m+1 的素数集的无限性（§2 例 1，P.134)；

4.判定 x 2=a(mod p)

是否有解，在有解的情况下，能用高斯（Gauss）逐步淘汰法求解。

习题二十五第 1 题 习题二十六第 1，2 题 习题二十七第 1，2 题习题二十八第 1-5 题 例题：§2 例 1，2，§3 例 1，2，§4 例 1，§5 例 2.