自考00418数论初步考试大纲（2025年版）
[00418] 数论初步自学考试大纲浙江省教育考试院 2025 年 12 月自学用书：《数论初步》，朱伟义主编，电子工业出版社 2023 年第一版
一、 课程性质与设置目的
要求《数论初步》课程是小学教育专业（专科）的选考课程。它是一门以整数的性质和运算规律为核心研究对象的学科，主要介绍整数的基本性质、整除理论、同余理论、不定方程等内容， 兼具理论性与应用性。本课程紧密结合小学教育教学实际，既系统阐述数论的基础理论知识， 又注重与小学数学教学内容的衔接，为小学教育专业学生后续从事数学教学、教材分析及教学研究奠定坚实的理论与实践基础。
设置本课程的目的是：使自学应考者系统掌握数论的基本概念、原理和方法，包括整数的整除性、同余、不定方程等核心内容；理解数论知识在小学数学中的应用场景与渗透方式；培养运用数论知识分析和解决小学数学教学相关问题的能力，提升数学思维的严谨性与逻辑性；
同时，帮助应考者树立正确的数学教育观念，为今后在小学阶段开展数学教学、激发学生数学学习兴趣提供有力支撑。
学习本课程的要求是：自学应考者需紧密结合参考教材，全面理解并掌握数论的基础知识点，理清知识间的内在联系；注重理论联系实际，主动将数论知识与小学数学教材、教学案例相结合，强化知识的应用能力；通过适量练习巩固所学内容，提升逻辑推理和问题解决能力；培养自主学习和探究能力，为后续专业课程学习和小学教育教学实践积累经验。
二、考核内容及目标
第一章 整除理论
通过本章学习，理解整除、倍数、因数、素数、合数、最大公因数、最小公倍数、取整函数等基本概念；掌握带余除法、辗转相除法、算术基本定理等；能够运用整除理论知识解决简单的数学问题，且能结合小学数学教学实际理解相关概念的教学要点。探究与拓展不作为考核内容。
1、整除与带余除法
1、整除与带余除法
(1) 识记：整除的定义与符号、倍数和因数的定义、2、3、5、9、11 等常见数的倍数特征。
(2) 理解：整除的基本性质、因数与倍数的相互依存关系。
(3) 简单应用：确定正整数的因数个数、整除判断问题。
(4) 综合应用：运用整除性质和带余除法解决简单的实际问题。
(1) 识记：最大公因数与最小公倍数的定义及相互之间的关系。
(2) 理解：最大公因数与最小公倍数的性质与意义、辗转相除法、裴蜀定理。
(3) 简单应用：运用列举法、辗转相除法计算两个或三个整数的最大公因数与最小公倍数。
(4) 综合应用：利用最大公因数与最小公倍数解决简单的实际问题。
(1) 识记：素数与合数的定义、梅森素数。
(2) 理解：素数的性质、算术基本定理、标准分解式。
(3) 简单应用：判断 100 以内整数是否为素数；利用算术基本定理求标准分解式。
(4) 综合应用：利用算术基本定理解决简单的实际问题。
(1) 识记：函数[x]与{x}的定义。
(2) 理解：函数[x]与{x}的性质。
(3) 简单应用：利用函数[x]与{x}证明不等式或解方程。
整除的基本性质、素数的判定、最大公因数与最小公倍数的求法及其应用。
第二章 同余
通过本章学习，理解同余的概念和基本性质、完全剩余系与简化剩余系的概念、欧拉定理与费马小定理；能够运用同余知识解决余数计算、日期推算等实际问题，并了解同余知识在小学数学竞赛中的简单应用。探究与拓展不作为考核内容。
1、同余的概念和性质
2、完全剩余系与简化剩余系
3、欧拉定理与费马小定理
1、同余的概念和性质
(1) 识记：同余的定义与表示符号。
(2) 理解：同余的基本性质、模运算的规则、整除与同余问题的相互转化。
(3) 简单应用：判断同余关系、利用同余研究判断特殊数的整除规律。
(4) 综合应用：运用同余知识解决简单的实际问题。
2、完全剩余系与简化剩余系
(1) 识记：模 m 剩余类、完全剩余系与简化剩余系的定义。
(2) 理解：构成完全剩余系和简化剩余系的充要条件、欧拉函数。
(3) 简单应用：求模 m 的完全剩余系和简化剩余系、欧拉函数的计算。
(4) 综合应用：利用完全剩余系与简化剩余系解决简单的实际问题。
3、欧拉定理与费马小定理
(1) 识记：伪素数。
(2) 理解：欧拉定理和费马小定理。
(3) 简单应用：同余在分数与无限循环小数互化中的应用。
(4) 综合应用：利用欧拉定理与费马小定理解决简单的实际问题。
同余的概念与基本性质、运用同余性质计算余数。
第三章 不定方程
通过本章学习，了解一次不定方程、商高方程、佩尔方程的概念；掌握二元一次不定方程有正整数解的条件及求解方法、多元一次不定方程与佩尔方程的求解、几类特殊不定方程的初等解法；能够利用无穷递降法证明不定方程无解。探究与拓展不作为考核内容。
1、一次不定方程
2、特殊的二次不定方程
3、几类特殊不定方程的初等解法
1、一次不定方程
(1) 识记：n 元一次不定方程的定义。
(2) 理解：二元一次不定方程有解的条件、多元一次不定方程转化为二元一次不定方程组。
(3) 简单应用：求解二元一次不定方程与多元一次不定方程。
(4) 综合应用：运用一次不定方程知识解决简单的实际问题。
2、特殊的二次不定方程
(1) 识记：商高方程、佩尔方程。
(2) 理解：无穷递降法、特殊的二次不定方程有正整数解的判断。
(3) 简单应用：利用无穷递降法证明某些不定方程没有正整数解、求解佩尔方程。
3、几类特殊不定方程的初等解法
(1) 理解：同余分析法、数与式的分解法、不等关系分析法、分离整数法、求根公式法、韦达定理法、换元法等。
(2) 简单应用：利用各种不同的初等解法求解特殊的不定方程。
二元一次不定方程的求解、无穷递降法。
第四章 同余式
通过本章学习，了解同余式、一次同余式组的概念；掌握一次同余式和一次同余式组有解的充要条件；理解孙子定理的意义，能够运用孙子定理等同余知识求解一次同余式和一次同余式组。本章只考核前两节内容，后面三节不作为考核内容。
(1) 识记：n 次同余式的定义、形式分数的定义。
(2) 理解：一次同余式有解的充要条件和解的个数。
(3) 简单应用：一次同余式的求解。
(1) 识记：一次同余式组的定义。
(2) 理解：一次同余式组有解的充要条件、孙子定理。
(3) 简单应用：一次同余式组的求解。
一次同余式的求解、孙子定理。
三、题型举例
（考试时间为 150 分钟）（题型仅作参考，实际命题时不受此限）
（一）单项选择题（在每小题列出的备选答案中只有一个是正确的，请将其代码填写在题后括号内。错选、多选或未选均不得分） 2 分×5 题=10 分
1．下列数中能被 3 整除的是（ ）。
A．1234 B．2345 C．3456 D．4567
2. 下列同余式成立的是（ ） 。
A. 23≡5 (mod 3) B. 17≡4 (mod 6) C. 35≡7 (mod 8) D. 42≡1 (mod 5)
（二）填空题（请在空格中填上正确答案。错填、不填均不得分） 3 分×10 题=30 分
1．若
都是正整数，且 ，则 _________。
2. 360 的正因数有________个。
（三）计算题（请写出详细的计算过程，并明确题目答案） 8 分×5 题=40 分
1．解不定方程
2. 解同余式
（四）证明题（请写出详细的证明过程，并明确结论） 10 分×2 题=20 分
1．证明形如
的素数有无穷多个。
2. 证明不定方程
没有正整数解。
