自考00418数论初步考试大纲（2025年版）

湖南 省高 等教 育自 学考 试课 程考 试大 纲数论初步 （课程代码：00418） 湖南省教育考试院组编 2025 年 6 月高等教育自学考试课程考试大纲课程名称：数论初步课程代码：00418

第一部分

课程性质与目标

一、课程性质与特点

数论初步是高等教育自学考试小学教育专业的选考课程。它以“基础教育课程改革纲要”和“义务教育数学课程标准（2022 年版）”为指导，根据数学课程发展的趋势，研究数的规律。本课程重点学习整数及同余的基本概念与运算性质，与小学数学有着密切的联系，并对研究开发小学数学课程提供必要的理论基础。具体教学内容包括：整数的整除性、同余、不定方程及同余方程等初等数论的基础知识、基础理论和基本解题技巧。数论初步课程内容丰富，概念抽象，学习难度较大，与其他数学学科课程联系紧密，如离散数学、代数、几何等。数论初步课程中包含大量的数学证明和推理过程，需要考生掌握数学基础知识，如代数、集合、概率论等，同时还需要具有较强的逻辑思维能力、分析能力和归纳能力等。在自学考试命题中，应充分体现本课程的性质和特点。

二、课程目标与基本

要求通过本课程的学习，要求考生掌握较为系统的数论知识、概念和算法，提升考生的数学素养。通过本课程的学习，主要实现如下目标：

第一，理解整数的整除性、同余、同余方程等基本知识基本概念；熟悉初等数论中的基本的理论和常用的方法；关注本课程和小学数学内容的联系，加深对小学数学内容体系的理解。

第二，具有较强的逻辑思维能力；具有运用初等数论的基础知识，分析问题和解决问题的能力；对小学中常出现的整数四则运算等各种运算，具有一定计算能力。

第三，通过理论知识的学习，使得考生具有较高的理论素养，为从事小学数学教学奠定基础；通过对初等数论问题的探究，培养考生的科学精神以及探究意识。

三、与本专业其他课程的关系由于本门课程是一门注重理论和逻辑的课程，它阐明的是数论领域的基本知识、概念和算法，因而要求考生首先应具备基础的数学知识，宜在先修《离散数学》的基础上来学习本课程。又由于数论初步课程与理性思维发展密切关联，因此学习本课程可以为后续其他数学类课程、科学类课程提供重要支撑。

第二部分考核内容与考核目标

第一章 整除理论

通过本章的学习，使考生掌握整除的定义和性质、带余除法、辗转相除法、最大公因数、最小公倍数、素数及其性质、算术基本定理、[x]和{x}的性质、n!的标准分解及它们的一些应用。本章的难点内容为：使用带余除法和辗转相除法进行运算以及对于函数[x]与{x}的理解。

（一）整除与带余除法（重点）

理解：1．整除的定义

2．整除的性质

3．整除

应用：1．带余除法

2．抽屉原理

（二）最大公因数与最小公倍数（重点）

理解：1．最大公因数的定义

2．最大公因数的性质

3．最小公倍数的定义

4．最小公倍数的性质应用：1．辗转相除法

2．裴蜀定理

（三）素数与算术基本原理（次重点）识记：1．素数的定义

2．合数的定义

理解：1．素数的性质

2．素数的稠密性

应用：算数基本定理

（四）函数[x]与{x}（重点）识记：1．函数[x]的定义

2．函数{x}的定义应用：1．函数[x]与{x}的定理

2．n!的标准分解

第二章 同余

通过本章的学习，使考生掌握同余的概念和基本性质、完全剩余系、简化剩余系、欧拉定理、费⻢小定理、特殊数的整除规律与同余的一些应用。本章的难点内容为：对于同余的概念和性质的理解和有关同余的应用。

（一）同余的概念和性质（重点）识记：同余的概念理解：同余的基本性质应用：1．同余的相关应用

2．整除问题和同余问题的相互转化

3．特殊数的整除规律（二）完全剩余系与简化剩余系（重点）识记：1．剩余类的概念

2．完全剩余系的概念

3．简化剩余系的概念理解：1．完全剩余系的条件

2．简化剩余系的条件应用：欧拉函数（三）欧拉定理和费马小定理（一般）识记：1．伪素数的概念

2．伪素数的性质

3．循环小数的概念

4．纯循环小数的概念

5．混循环小数的概念理解：1．费马小定理

2．欧拉定理

3．同余在分数和循环小数互化中的应用

第三章 不定方程

通过本章的学习，使考生掌握一次不定方程、商高方程、佩尔方程、几类特定的不定方程等内容，需要掌握的重点包括不定方程有解的条件；不定方程有解的情况下，解的个数；不定方程有解的情况下，如何求解。本章的难点内容为：二元一次不定方程和多元一次不定方程组的求解。

（一）一次不定方程（重点）识记：1．不定方程的概念

2．二元一次不定方程的概念理解：1．多元一次不定方程的定理与推论

2．多元一次不定方程组的定理与推论应用：1．整数分离法的应用

2．不定方程的求解

（二）特殊的二次不定方程（重点）

理解：1．商高方程的定理及其推论

2．佩尔方程的定理及其推论应用：无穷递降法的应用（三）几类特殊不定方程的初等解法（重点）

理解：1．同余分析法

2．数与式的分解法

3．不等关系分析法

4．分离整数法

5．求根公式法

6．韦达定理法

7．换元法

8．其他方法

第四章 同余式

和不定方程一样，对同余式的学习同样要考虑以下三个问题，即有解的条件、 解的个数及如何求解。通过本章的学习，使考生需要掌握利用同余式的基本概念、 基础知识和性质解同余式。本章的难点内容为：同余式和一次同余式组的求解。

（一）同余式的基本概念（重点）识记：1．同余式的基本概念

2．同余式的性质

理解：1．同余式的有解条件

2．同余式解的个数

3．同余式的求解

应用：1．代入法求解同余式

2．形式分数求解同余式

3．欧拉定理求解同余式（二）一次同余式组和孙子定理（次重点）识记：一次同余式组有解条件、解的个数应用：1．代入法求解一次同余式组

2．孙子定理求解一次同余式组（三）模 pα的同余式与素数模的同余式（次重点）识记：模 pα的同余式理解：素数模的同余式的性质应用：威尔逊定理（四）二次同余式和平方剩余（次重点）识记：1．二次剩余与二次非剩余的概念

2．Jacobi 符号的概念理解：1．欧拉判别条件

2．Gauss 引理

3．二次互反律

4．Jacobi 符号的性质应用：合数模二次同余式

第五章 原根、指标与数论函数

通过对本章的学习，使考生掌握原根和指标的概念，理解简化剩余系的构造和同余式解的存在性。同时，掌握特征函数的概念，熟悉简化剩余系的表示。然后， 了解掌握数论函数，积性函数和 Mobius 变换。本章的难点内容为：掌握原根和指标的概念，以及掌握简化剩余系的构造和同余式解的存在性。

（一）原根及其存在性（重点）识记：1．原根的概念

2．阶数的概念

理解：1．原根的基本性质

2．阶数的基本性质

应用：1．原根的存在条件

2．原根的求解

（二）指标与指标组（次重点）识记：1．指标的定义

2．指标组的定义及其相关定理理解：1．指标的相关定理

2．指标组的相关定理

3．简化剩余系的构造应用：同余式解的存在性及求解（三）数论函数（次重点）识记：1．数论函数的概念

2．积性函数的概念

3．Mobius 变换的概念应用：1．数论函数的相关定理

2．积性函数的相关定理

3．Mobius 变换的相关定理

第三部分

有关说明与实施要求

一、考核的能力层次表述

本大纲在考核目标中，按照“识记”“理解”“应用”三个能力层次规定其应达到的能力层次要求。各能力层次为递进等级关系，后者必须建立在前者的基础上， 其含义是：识记：能知道有关的名词、概念、知识的含义，并能正确认识和表述，是低层次的要求。

理解：在识记的基础上，能全面把握基本概念、基本原理、基本方法，能掌握有关概念、原理、方法的区别与联系，是较高层次的要求。

应用：在理解的基础上，能运用基本概念、基本原理、基本方法联系学过的多个知识点分析和解决有关的理论问题和实际问题，是最高层次的要求。

二、教材

指定教材：《数论初步》，朱伟义，电子工业出版社，2023 年版

三、

自学方法指导

1．在开始阅读指定教材某一章之前，先翻阅大纲中有关这一章的考核知识点及对知识点的能力层次要求和考核目标，以便在阅读教材时做到心中有数，有的放矢。

2．阅读教材时，要逐段细读，逐句推敲，集中精力，吃透每一个知识点，对基本概念必须深刻理解，对基本理论必须彻底弄清，对基本方法必须牢固掌握。

3．在自学过程中，既要思考问题，也要做好阅读笔记，把教材中的基本概念、原理、方法等加以整理，这可从中加深对问题的认知、理解和记忆，以利于突出重点，并涵盖整个内容，可以不断提高自学能力。

4．完成书后作业和适当的辅导练习是理解、消化和巩固所学知识，培养分析问题、解决问题及提高能力的重要环节，在做练习之前，应认真阅读教材，按考核目标所要求的不同层次，掌握教材内容，在练习过程中对所学知识进行合理的回顾与发挥，注重理论联系实际和具体问题具体分析，解题时应注意培养逻辑性，针对问题围绕相关知识点进行层次（步骤）分明的论述或推导，明确各层次（步骤）间的逻辑关系。

四、对社会助学的要求

1．应熟知考试大纲对课程提出的总要求和各章的知识点。

2．应掌握各知识点要求达到的能力层次，并深刻理解对各知识点的考核目标。

3．辅导时，应以考试大纲为依据，指定的教材为基础，不要随意增删内容，以免与大纲脱节。

4．辅导时，应对学习方法进行指导，宜提倡“认真阅读教材，刻苦钻研教材，主动争取帮助，依靠自己学通”的方法。

5．辅导时，要注意突出重点，对考生提出的问题，不要有问即答，要积极启发引导。

6．注意对考生能力的培养，特别是自学能力的培养，要引导考生逐步学会独立学习，在自学过程中善于提出问题，分析问题，做出判断，解决问题。

7．要使考生了解试题的难易与能力层次高低两者不完全是一回事，在各个能力层次中会存在着不同难度的试题。

8．助学学时：本课程共 4 学分，建议总课时 72 学时，其中助学课时分配如下：

章次章节名称学时

第一章

整除理论

第二章

同余

第三章

不定方程

第四章

同余式

第五章

原根、指标与数论函数合计

五、关于命题考试的若干规定

1．本大纲各章所提到的内容和考核目标都是考试内容。试题覆盖到章，适当突出重点。

2．试卷中对不同能力层次的试题比例大致是：“识记”为 30%、“理解”为40%、“应用”为 30%。

3．试题难易程度应合理：容易、中等、难比例为 3：4：3。

4．每份试卷中，各类考核点所占比例约为：重点占 60%，次重点占 30%，一般占 10%。

5．试题类型一般分为：单项选择题、填空题、计算题、证明题、应用题。

6．考试采用闭卷笔试，考试时间 150 分钟，采用百分制评分，60 分合格。

六、题型示例（样题）

一、单项选择题

（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”上的相应字母涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。

1．77+88+99 除以 7 的余数是A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空题

（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）

11．模 8 的最小非负完全剩余系是_______。

三、计算题

（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）

21．利用同余法求不定方程17x y + = 的通解。

四、证明题

（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）

23．证明不定方程 x2+y2+z2=2xyz 没有正整数解。

五、

应用题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）

25．100 匹马驮 100 筐物品，一匹大马驮 3 筐，一匹中马驮 2 筐，两匹小马驮 1筐。问大、中、小马各多少？（每匹马至少驮一筐）